Hace unos pocos dias, el Peje declaró que la curva de contagios del Coronavirus se estaba aplanando. Esto es patentemente falso como voy a exponer a continuación (jajaja... "exponer") y de paso explicaré algunos conceptos esenciales.
¿A que nos referimos con aplanar la curva ? ¿de que curva estamos hablando ?
El término fue popularizado por la OMS y por Tomas Pueyo en sus artículos. Para entenderlo necesitamos entender un modelo ultra simplificado de expansión de pandemias. Aquí les va.
Supongamos que en dia dado, indicado por la letra t (de tiempo) tenemos c contagiados. Esto se denota c(t) y se puede leer como "c de t" o "c en el momento t" o "contagiados en el dia t". Supongamos que cada contagiado le pasa la enfermedad a n personas más en un día. Como tenemos c(t) contagiados, entonces al dia siguiente aparecen n por c(t) contagiados más, cada uno contagio a n personas nuevas.
Entonces al dia siguiente, que sería t+1, tendríamos n personas más contagiadas, esto se escribe en ecuación así:
c(t+1)=c(t)+ n·c(t).
Y se puede leer como "los contagiados en el día t+1 son los contagiados del dia anterior más n veces los contagiados del dia anterior".
El modelo está muy muy muy rebajado. No toma en cuenta que la gente se va curando, no toma en cuenta que solo durante un periodo uno puede contagiar, y además asume que todos contagian por igual. Está última en promedio es una aproximación aceptable, las otras comienzan a fallar cuando uno ve detalles.
La ecuación queda, factorizando términos (es decir, escribiendo como multiplicación lo que se puede poner como multiplicación), así:
c(t+1)=c(t)·(1+n)
Entonces uno puede ver que el número de contagiados va creciendo multiplicando el número anterior por un número constante. Al dia siguiente del siguiente (t+2) tenemos que
c(t+2)=c(t+1) · (1+n) = c(t) · (1+n) (1+n)
Es decir, el dia t+2 tiene c(t+1) por (1+n) contagiados, pero c(t+1) es igual a c(t) por (1+n). Entonces cada dia que pasa multiplicamos por un nuevo (1+n) lo que ya llevabamos. Si por ejemplo, resulta que el dia original, al que podemos llamar t=0, tenemos entonces los primeros contagiados, y dejamos que pasen T dias (esta vez con mayúsculas, para indicar que son varios dias), tenemos que:
c(T)=c(0)·(1+n)·(1+n) .... ·(1+n) ,
(donde (1+n) está multiplicado T veces).
Esto se escribe en notación simplificada como
c(T)=c(0) · (1+n)^(T)
( o se pone la T como un tilde, arriba y chiquito)
Y se lee como " uno mas n elevado a la T" donde T es el exponente. Eso es una ecuación de crecimiento exponencial y T es el exponente, que nos dice cuantas veces multiplicamos un número dado. Es una operación que crece muy rápido. Si por ejemplo, n=1 ( cada quien contagia a una persona en nuestro modelo), tenemos que (1+1)^T es 2^T, y por ejemplo si T=7 dias, tenemos que
2^7=2·2·2·2·2·2·2=128.
Entonces, si así fuera, después de una semana tendríamos 128 VECES los contagiados del día cero... es rápido, ¿no?
Como nota, aclaremos que por consistencia con otras reglas de multiplicar, cualquier número elevado a 0 es igual a 1, intuitivamente "no multiplicamos por nada nuevo", entonces multiplicamos por uno, por ejemplo 2^0 = 1, 7^0=1, etc.
En nuestro ejemplo, no paso ningún dia, es decir,
c(T=0)=c(0)=c(0)·(1+n)^0=c(0)·1 (daah).
Muy bien, este ejemplo es súper simple pero captura la esencia del crecimiento exponencial. Otro ejemplo está en mi artículo de denuncia contra las Flores de la Abundancia, los fraudes piramidales tienen crecimiento exponencial porque siguen la reglas de "contagio" expuestas arriba: cada involucrado tiene que invitar a n nuevos participantes.
El crecimiento exponencial se da cuando no hay nada que ponga tope a la forma en que se transmiten los contagios, que es cuando las pandemias empiezan a propagarse. Una vez que ya haya demasiados contagiados, o vacunas, o medicamentos, los contagiados ya no pueden contagiar fácilmente a quien sea ( o todos están muertos, también eso puede pasar) y la ecuación exponencial ya no funciona.
Le llamamos curva exponencial a la gráfica continua que pasa por los puntos de una gráfica de crecimiento exponencial. Se le llama función exponencial a la expresión en fórmula que produce esa curva. Hay una manera consistente de definir los exponentes para quebrados y otros números, de forma que la curva llena los espacios entre el dia t y el día t+1, y es consistente con la interpretación. La curva exponencial se ve como en la siguiente gráfica:
Una curva exponencial se ve siempre más o menos igual: empieza a subir despacio, luego acelera, y luego aparenta explotar hacia el cielo. Si agregamos mas puntos siguiendo el mismo factor de crecimiento, lo que antes aparentaba ser la aceleración máxima se vuelve pequeña en relación con la nueva, por ejemplo,
continuemos por cinco puntos más la grafica anterior:
La curva se ve intuitivamente igual, pero la escala es monstruosamente más grande en el eje "y" o vertical. Esto hace un poco más visual lo impresionante del crecimiento exponencial. Una curva exponencial cuenta con esa propiedad: si le hacemos zoom para arriba o para abajo, parece mantenerse igual. Se dice que es autosemejante. Es una consecuencia de que siempre crece al mismo ritmo.
Dado que como podemos ver, el número de un contagiado nuevo por día da un crecimiento irrealmente grande, en realidad tenemos factores mucho mas pequeños, como de 0.1 contagiados nuevos por contagiado por dia... ¿que demonios quiere decir que contagiamos a un décimo de persona? Pues que en promedio, cada contagiado contagia a una persona cada diez dias, no cada dia, o que 10 contagiados en promedio contagian a una nueva persona cada día, no cada uno de ellos, sino en promedio. Estos detalles conceptuales hay que afianzarlos bien para entender lo que sigue.
Hay otro truco conceptual matemático: lo que estamos "elevando a T" se le llama "la base". Podemos cambiar de base arbitrariamente cambiando la forma en que medimos el tiempo. Por ejemplo, nos interesa saber cada cuanto se duplican los contagiados, entonces vamos a medir el tiempo en periodos de duplicación de contagios, que puede ser, pongamos, una semana. Cada semana hay el doble de contagios. Entonces si medimos el tiempo en semanas, en lugar de dias, la ecuación se ve asi
c(semana s + una semana) = c( semana s) 2^1= c(s)·2
Y si a partir de la semana cero pasan S semanas la ecuación queda así:
c(S)=c(0)2^S.
La cuestión es que entonces S=7T, donde T eran días y 7 es el periodo de duplicación. Entonces la ecuación si la queremos volver a tener en días, tenemos que poner todo en días, que son 1/7 de semana:
c(T)=c(0) ·2^(T/7),
Cada siete días, T/7 crece por una unidad y entonces se duplica el número de contagios. En lugar de siete días pudo haber sido cualquier número de días, pongamos que son P días. Entonces se dice que P es el "periodo de duplicación de contagios". Este número nos da una idea de que tan grave es el crecimiento exponencial. Si P son pocos días, quiere decir que se duplica rápidamente el número de contagios. Si P es muy grande quiere decir que le toma muchos días a los contagiados duplicarse ( o que tal vez no lo están haciendo, buena señal).
Retomemos las gráficas. Resulta que hay un truco formal y muy útil para ver fácilmente si una curva o unos puntos se aproximan a una exponencial. Relacionado con lo anterior, que es el cambio de base, uno puede cambiar la escala vertical en una gráfica de forma que cada paso (cada cuadrito o cada marca) hacia arriba implica que el numero creció B veces más. Es decir, que creció exponencialmente. Normalmente se escoge para B que sea igual a 10. Entonces un gráfica exponencial va avanzando no "de diez en diez" en cada cuadrito, sino "por diez" cada cuadrito hacia arriba. A esto se le llama usar "escala logarítmica" ( el logarítmo es lo contrario de la exponencial, básicamente estamos "bajando el exponente"). La curva exponencial del último ejemplo se ve así:
Que decente. Una función exponencial en escala logarítmica en las yes se ve como una simple recta ( vean la escala vertical, eh). Resulta que no importa que base usemos, siempre se ve así, solo cambia lo empinado. Si tenemos una serie de puntos, y los graficamos usando escala logarítmica, se tiene que ver mas o menos como una linea recta. Si no se ve así no es crecimiento exponencial.Este truco es formal y correcto y lo usan analistas profesionales, así que si queremos saber si algo se está comportando exponencialmente, lo graficamos en papel "semilog" (sólo tiene un eje "logarítmico") y si se ve mas o menos como recta, entonces si, si no, no es.
Bueno, resulta que esa es la curva de la que están hablando los políticos y demás. Quieren que el crecimiento sea por debajo de lo exponencial.
Pues bien. Armados de lo anterior usemos un ejemplo concreto: México. Veamos si parece ser una curva exponencial y cual es su P si usamos base 2. Y luego comparemos con EUA y vemos que pasa.
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